Question

如圖在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD，AC與BD交于點O，點M，N分別在線PC、AB上，

CM

MP

=

BN

NA

=2．
（Ⅰ）求證：平面MNO∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PA⊥平面ABCD，∠PDA=60°，且PD=DC=BC=2，求幾何體M-ABC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）在梯形ABCD中依據AD∥BC，推斷出0C：OA=BC：AD=2，又由于BN=2NA，繼而可知AN∥BC∥AD，在△PAC中，根據比例關系推斷出OM∥AP，最后利用面面平行的判定定理證明出平面MNO∥平面PAD； 
（Ⅱ）在△PAD中，利用余弦定理求得PA，進而可知PA²+AD²=PD²，推斷出PA⊥AD，又根據平面PAD⊥平面ABCD推斷出PA⊥平面ABCD，進而證明出MO⊥平面ABC利用MO的值，求得AB，求得底面的面積最后利用體積公式求得幾何體M-ABC的體積．

解答： 證明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴0C：OA=BC：AD=2，
又BN=2NA，
∴ON∥BC∥AD，
∵AD?平面PAD，ON?平面PAD，
∴ON∥平面PAD，
在△PAC中，
∵OC：OA=BC：AD=2，CM=2MP，
∴OM∥AP，
AP?平面PAD，OM?平面PAD，
∴OM∥平面PAD，
∵OM?平面OMN，ON?平面OMN，且OM∩ON=0，
∴平面MNO∥平面PAD；                                 
（Ⅱ）在△PAD中，PA²=PD²+AD²-2PD•AD•cos∠PDA=3
∴PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD
∴PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知OM∥AP，
∴MO⊥平面ABC
且MO=

2

3

AP=

2 3

3

在梯形ABCD中，CD=BC=2AD=2，
∠BAD=90°，
∴AB=

3

，
∴△ABC的面積S=

1

2

AB•BC=

3

∴幾何體M-ABC的體積V=

1

3

MO•S=

2

3

點評：本題主要考查了平面與平面平行的判定定理，幾何體的體積公式等．考查了學生基礎知識的綜合運用．