Question

【題目】在中，角、、所對的邊分別為、、，，當角取最大值時，的周長為，則__________．

Answer 1

【答案】3

【解析】分析：根據題意由正弦定理得出cosA＜0，A為鈍角，cosAcosC≠0，由兩角和的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式可得出tanA=﹣3tanC，且tanC＞0；由已知及基本不等式求出B取得最大值，可得C=B=，可求A，利用余弦定理可求a=b，結合已知求得b的值，進而可求a的值．

詳解：△ABC中，sinB=cos（B+C）sinC，

∴b=cos（B+C）c，即cosA=﹣＜0，∴A為鈍角，

∴cosAcosC≠0；

由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=﹣2cosAsinC，

可得tanA=﹣3tanC，且tanC＞0，

=

當且僅當tanC= 時取等號；

∴B取得最大值時，c=b=1，此時C=B=．

∴A=，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a=b，

∵三角形的周長為a+b+c=b +b+b=2．解得：b=，可得：a=b =3．

故答案為：3