Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線上的點到焦點的距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）如圖，點是拋物線上異于原點的點，拋物線在點處的切線與軸相交于點，直線與拋物線相交于兩點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求出拋物線的準線方程為，由拋物線定義，得到，即可求解拋物線的方程．

（2）求出函數的．設點，得到拋物線在點處的切線方程為．求出．推出直線的方程，點到直線的距離，聯立求出，表示出的面積，構造函數，通過函數的導數利用單調性求解最值即可．

（1）拋物線的準線方程為，

因為，由拋物線定義，知，

所以，即，

所以拋物線的方程為．

（2）因為，所以．

設點，則拋物線在點處的切線方程為．

令，則，即點．

因為所以直線PF的方程為，即．

則點到直線的距離為．

聯立方程消元，得．

因為，

所以，

所以.

所以的面積為．

不妨設，則．

當時，，所以在上單調遞減；

當上，，所以在上單調遞增，

所以當時，．

所以的面積的最小值為．