Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線參數方程為為參數)，將曲線上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標變為原來的，得到曲線.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求取得最小值時的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）利用消去參數，求得曲線的直角坐標方程.根據坐標變換的知識求得的普通方程.

（2）設出直線的參數方程，代入的方程并寫出根與系數關系，求得弦長的表達式，并利用三角函數最值的求法求得取得最小值時的值.

（1）將曲線參數方程為參數)的參數消去，得到直角坐標方程為，設上任意一點為，經過伸縮變換后的坐標為，由題意得：

，故；

（2）過點傾斜角為的直線的參數方程為：為參數)，帶入的方程得：，

記對于的參數分別為，，

，

故當時，.