Question

【題目】如圖1，在等腰梯形中,,為中點, 點分別為的中點, 將沿折起到 的位置，使得平面平面(如圖 ).

（1）求證:；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）側棱上是否存在點,使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）要證，只需證明平面即可；（2）以為原點, 分別為軸建立空間直角坐標系，設平面的一個法向量為，根據法向量與平面的兩個向量的數量積為零，解得，進而可求解直線與平面所成角的正弦值；（3）假設在側棱上存在點,使得平面,設，由四邊形為菱形，且，結合（1）可知，平面，得到為平面的一個法向量．據此可求解的值.

試題解析：（1）如圖1，在等腰梯形中, 由為中點, 所以為等邊三角形．如圖2, 因為為的中點，

所以又因為平面平面,且平面平面,

所以平面,所以.

（2）連結,由已知得,又為的中點，所以,

由（1）知平面,所以兩兩垂直,

以為原點, 分別為軸建立空間直角坐標系（如圖）.

因為,易知,

設平面的一個法向量為,

由,得,即,取,得,

設直線與平面所成角為,則,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）假設在側棱上存在點,使得平面,設,

因為,

所以.

易證四邊形為菱形，且,

又由（1）可知，平面為平面的一個法向量．

由,得,

所以側棱上存在點,使得平面,且.