Question

12．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和其圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數f（x）在$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，結合三角函數的圖象和性質可求對稱中心的坐標；

（2）x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=$\frac{1}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1，
化簡可得：$f（x）=\frac{1+cos2x}{4}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+1=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．
（1）∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
可得，對稱中心的坐標：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，k∈Z$．
∴函數f（x）的對稱中心$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{5}{4}），k∈Z$．
（2）∵$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$\frac{{5+\sqrt{3}}}{4}≤\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}≤\frac{7}{4}$，
故得函數f（x）在$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上的值域是$[\frac{5+\sqrt{3}}{4}，\frac{7}{4}]$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．