Question

已知函數.
（1）試判斷函數的單調性；  
（2）設，求在上的最大值；
（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數的底數）．

Answer 1

（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）在上的最大值為；
(3) 證明過程詳見試題解析.

解析試題分析：（1）先對函數求導，令導函數為0，即可求得函數在上單調遞增，在上單調遞減． （2）結合函數的單調性，分時，時，三種情況進行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉化為恒成立問題即可.
試題解析：（1）解：（1）函數的定義域是．由已知．
令，得．
因為當時，；當時，．
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）由（1）可知當，即時，在上單調遞增，所以．
當時，在上單調遞減，所以．
當，即時，．
綜上所述，
（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為，，所以，即．因此對任意，不等式．
考點：導函數的應用、最值問題、恒成立問題.