Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）證明線面平行，根據判定定理就是要證線線平行，而平行線的尋找，又是根據線面平行的性質定理找到，設與交點為，過的平面與平面的交線就是，這就是要找的平行線，由中位線定理易證；（2）要求三棱錐的體積，關鍵是求得底面三角形的面積（高為到底面的距離，即為的一半），已知條件是二面角大小為，為此可以為軸建立空間直角坐標系，設 ，寫出各點坐標，求得平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可求得，從而可求得底面積，體積．

試題解析：（1）證明：連，設，連，

∵是的中點，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

．

設 ．則．

設為平面的法向量，則

取．

又為平面的一個法向量，

∴，∴．

因為為的中點，所以三棱錐的高為，

∴．