【題目】如圖，
的外心為O，E是AC的中點，直線OE交AB于點D，M、N分別是
的外心、內心.若AB=2BC，證明：
為直角三角形.
【答案】見解析
【解析】
證法1：如圖，由于點O、M皆在BC的中垂線上
設直線OM交BC于點P，交
于點F
則P是BC的中點，F是BC的的中點
因N是
的內心，所以，D、N、F三點共線，且
又OE是AC的中垂線，則DC=DA
而DF、OE為∠BDC的內、外角平分線，故
則OF為的直徑，所以，OM=MF
又
，則NF=BF
作
于點H，于是
且
所以，
，故DN=BF=NF
因此，MN是
的中位線
從而，
而
，則
故
為直角三角形.
證法2：記
，
，
因DE是AC的中垂線，所以，AD=CD=b
有
①
延長DN交于點F，并記FN=e，DN=x
則FB=FC=FN=e
對圓內接四邊形BDCF應用托勒密定理得
即
②
由式①、②得
故知N是弦DF的中點
而M為外心，所以，
故為直角三角形.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市在節日期間進行有獎促銷，規定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續摸球.按規定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.
（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；
（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量X的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）6個人按下列要求站一橫排，甲、乙必須相鄰，有多少種不同的站法？
（2）6個人按下列要求站一橫排，甲不站左端，乙不站右端．有多少種不同的站法？
（3）用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個六位數且是奇數（無重復數字的數）？
（4）用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個個位上的數字不是5的六位數（無重復數字的數）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁
和外壁
都是半徑為1m的四分之一圓弧，
分別與圓弧
相切于
兩點，
且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.
（1）若水平放置的木棒
的兩個端點
分別在外壁
和
上，且木棒與內壁圓弧相切于點
設
試用
表示木棒
的長度
（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦．曼德爾布羅在20世紀70年代創立的一門新的數學學科，它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖(1)所示的分形規律可得如圖(2)所示的一個樹形圖．若記圖(2)中第
行黑圈的個數為
，則
________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如表提供了工廠技術改造后某種型號設備的使用年限
和所支出的維修費
（萬元）的幾組對照數據：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
參考公式：
，
.
（1）若知道對呈線性相關關系，請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程
；
（2）已知該工廠技術改造前該型號設備使用10年的維修費用為9萬元，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設備技術改造后，使用10年的維修費用能否比技術改造前降低？
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