Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設函數.

（Ⅰ）求的最小值及取得最小值時的取值范圍；

（Ⅱ）若集合，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】試題分析: （Ⅰ）利用絕對值三角不等式,求得的最小值,以及取得最小值時x的取值范圍; （Ⅱ）當集合,函數恒成立,即的圖象恒位于直線的上方,數形結合求得a的取值范圍.

試題解析:解：（Ⅰ）∵ 函數，

當且僅當，即時

函數的最小值為．

（Ⅱ）函數

而函數表示過點，斜率為的一條直線，

如圖所示：當直線過點時， ，∴，

當直線過點時， ，∴，

故當集合，函數恒成立，

即的圖象恒位于直線的上方，

數形結合可得要求的的范圍為．

點睛: 兩數和差的絕對值的性質: ,特別注意此式，它是和差的絕對值與絕對值的和差性質，應用此式來求某些函數的最值時一定要注意等號成立的條件.恒成立問題的解決方法:(1)f(x)<m恒成立，須有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，須有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為，即不等式無解．