Question

【題目】設(shè)f(x)＝si n－2cos2＋1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)x∈時(shí)，y＝g(x)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝，T＝8.（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)兩角差正弦公式、二倍角余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，利用轉(zhuǎn)移法求函數(shù)y＝g(x)，再根據(jù)自變量范圍，利用余弦函數(shù)性質(zhì)求最值

試題解析：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，

故f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝8.

(2)法一：

在y＝g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x))，它關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2－x，g(x))．

由題設(shè)條件，點(diǎn)(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上，從而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos，

當(dāng)0≤x≤時(shí)，≤x＋≤，因此y＝g(x)在區(qū)間上的最大值為ymax＝cos＝.

法二：

因區(qū)間關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)區(qū)間為， 且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，故y＝g(x)在區(qū)間上的最大值為y＝f(x)在區(qū)間上的最大值．

由(1)知f(x)＝sin.當(dāng)≤x≤2時(shí)，－≤x－≤.

因此y＝g(x)在區(qū)間上的最大值為ymax＝sin＝.