Question

【題目】設函數f(x)＝|ax－x2|＋2b(a，b∈R)．

(1)當b＝0時，若不等式f(x)≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)已知a為常數，且函數f(x)在區間[0，2]上存在零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[0，2]；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉化為對應函數最值問題：恒成立，即，即得實數a的取值范圍；（2）先分離轉化為對應函數交點問題：x|a－x|＝－2b，根據a與[0，2]位置關系分類討論，確定函數y=x|a－x|圖像，再根據函數最大值與對稱軸位置關系進行二級討論，最終確定b的取值范圍．

試題解析：(1)當b＝0時，若不等式x|a－x|≤2x在x∈[0，2]上恒成立；

當x＝0時，不等式恒成立，則a∈R；

當0<x≤2，則|a－x|≤2在(0，2]上恒成立，即－2≤x－a≤2在(0，2]上恒成立，

因為y＝x－a在(0，2]上單調增，ymax＝2－a，ymin>－a，則，解得：0≤a≤2；

則實數a的取值范圍為[0，2]；

(2)函數f(x)在[0，2]上存在零點，即方程x|a－x|＝－2b在[0，2]上有解；

設h(x)＝

當a≤0時，則h(x)＝x2－ax，x∈[0，2]，且h(x)在[0，2]上單調遞增，所以h(x)min＝h(0)＝0，h(x)max＝h(2)＝4－2a，則當0≤－2b≤4－2a時，原方程有解，則a－2≤b≤0；

當a>0時，h(x)＝，h(x)在上單調增，在上單調減，在[a，＋∞)上單調增；

①當≥2，即a≥4時，h(x)max＝h(2)＝2a－4，h(x)min＝h(0)＝0，

則當0≤－2b≤2a－4時，原方程有解，則2－a≤b≤0；

②當<2≤a，即2≤a<4時，h(x)max＝h＝，h(x)min＝h(0)＝0，則當0≤－2b≤時，原方程有解，則－≤b≤0；

③當0<a<2時，h(x)max＝max＝max，h(x)min＝h(0)＝0，

當≥4－2a，即－4＋4≤a<2時，h(x)max＝，則當0≤－2b≤時，原方程有解，則－≤b≤0；

當<4－2a，即0<a<－4＋4時，h(x)max＝4－2a，則當0≤－2b≤4－2a時，原方程有解，則a－2≤b≤0；

綜上，當a<－4＋4時，實數b的取值范圍為[a－2，0]；

當－4＋4≤a<4時，實數b的取值范圍為；

當a≥4時，實數b的取值范圍為.