Question

（2013•天津）設a+b=2，b＞0，則當a=

-2

時，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值．

Answer 1

分析：由于a+b=2，b＞0，從而

1

2|a|

+

|a|

b

=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2），設f（a）=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2），畫出此函數的圖象，結合導數研究其單調性，即可得出答案．

解答：解：∵a+b=2，b＞0，
∴

1

2|a|

+

|a|

b

=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2）
設f（a）=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2），畫出此函數的圖象，如圖所示．
利用導數研究其單調性得，
當a＜0時，f（a）=-

1

2a

+

a

a-2

，
f′（a）=

1

2a2

-

2

(a-2)2

=

-(3a-2)(a+2)

2a2(a-2)2

，當a＜-2時，f′（a）＜0，當-2＜a＜0時，f′（a）＞0，
故函數在（-∞，-2）上是減函數，在（-2，0）上是增函數，
∴當a=-2時，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值

3

4

．
同樣地，當0＜a＜2時，得到當a=

3

4

時，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值

5

4

．
綜合，則當a=-2時，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故答案為：-2．

點評：本題考查導數在最值問題的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題．