Question

在數列{a_n}中，已知 a_n+1=a_n-4且 3a₄=7a₇，S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n有最大值還是最小值？求出這個最值．

Answer 1

解：∵a_n+1=a_n-4
∴a_n+1-a_n=-4
∴數列{a_n}為公差為-4數列的等差數列
∵3a₄=7a₇
∴a₁=33
∴a_n=-4n+37
令a_n≥0
∴n≤
∴等差數列{a_n}的前9項均為正從第10項開始均為負
∴數列{a_n}的前n項和Sn有最大值
∴（s_n）mnx=s9=9×33-×9×8×（-4）=153
即數列{a_n}的前n項和Sn有最大值且最大值為153
分析：根據a_n+1=a_n-4可得出數列{a_n}為等差數列且公差為-4再根據 3a₄=7a₇即可求出a₁從而求出通項a_n=-4n+37可令a_n≥0求出n的范圍再結合等差數列的函數特性就可判斷出等差數列{a_n}中項的正負的分布情況進而可求出S_n有最大值還是有最小值然后根據等差數列的前n項和公式即可求出這個最值．
點評：本題主要考查了利用等差數列的性質求前n項和的最大最小值．解題的關鍵是要根據等差數列的函數特性（要么遞增要么遞減要么是常數列）再結合a_n≥0求出的n的范圍即可對此數列項的正負情況作出判斷后問題就迎刃而解了！