Question

在數列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅲ）設cn=

3

bn•bn+1

，S_n是數列{c_n}的前n項和，求使Sn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

an+1

an

=

1

4

，易知數列{a_n}是公比為

1

4

的等比數列，又a₁=

1

4

，通項公式即求．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，利用定義證明即可
（Ⅲ）cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

．裂項后求得Sn=1-

1

3n+1

須Sn的最大值小于

m

20

．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

an

=

1

4

，∴數列{a_n}是公比為

1

4

的等比數列，又a₁=

1

4

，所以數列{a_n}的通項公式為a_n=(

1

4

)n．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，b_n+1-b_n=3n+1-（3n-2）=3，所以數列{b_n}是首項b1=1，公差d=3的等差數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

所以Sn=(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…(

1

3n-2

-

1

3n+1

)=1-

1

3n+1

…..（11分）
因此，使得1-

1

3n+1

＜

m

20

(n∈N*)成立的m須且僅須滿足1≤

m

20

，即m≥20，滿足要求的最小整數m為20．

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在求解數列的通項公式中的應用及等比數列的通項公式、裂項求和方法的應用，不等式恒成立參數求解．屬于中檔綜合題．