Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)）．設(shè)a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f(3)，則a、b、c三者的大小關(guān)系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、c＜a＜b
• C、c＜b＜a
• D、b＜c＜a

Answer 1

分析：由題意得對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，得到函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．由當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．比較自變量的大小即可得到函數(shù)值的大小．

解答：解：由題意得：對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．
因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．
因?yàn)?1＜0＜

1

2

，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

1

2

），即f（3）＜f（0）＜f（

1

2

），
所以c＜a＜b．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等，函數(shù)的性質(zhì)一直是各種考試考查的重點(diǎn)內(nèi)容．