Question

已知點A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，F₁，F₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的兩焦點坐標；
（II）設點B是橢圓上任意一點，如果|AB|最大時，求證A、B兩點關于原點O不對稱．

Answer 1

分析：（I）由橢圓定義知：2a=4，把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1求出b，根據c2=a2-b2得到c=

2 6

3

進一步求出兩焦點坐標．
（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），此時|AB|=2

2

；再取橢圓上一點M(-2，0)，則|AM|=

10

得到|AM＞|AB|．即得證．

解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，
∴a=2
∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1
∴b2=

4

3

則橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

∴c=

2 6

3

故兩焦點坐標 為(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)．…（3分）
（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），
此時|AB|=2

2

取橢圓上一點M(-2，0)，則|AM|=

10

∴|AM＞|AB|．
從而此時|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立． …（7分）

點評：本題考查橢圓的定義及橢圓中三個參數的關系：c²=a²-b²；考查利用反證法證明命題，屬于中檔題．