Question

已知點A（1，1）是橢圓上一點， F₁，F₂是橢圓的兩焦點，且滿足.

   （1）求橢圓的兩焦點坐標；

   （2）設點B是橢圓上任意一點，如果|AB|最大時，求證A、B兩點關于原點O不對稱；

   （3）設點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由。

Answer 1

解：（I）由橢圓定義知：，

把（1，1）代入得

，則橢圓方程為，

，

故兩焦點坐標 為  ………………4分

   （II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（，），

此時取橢圓上一點，則

從而此時|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立。 …………8分

   （III）設AC方程為：

    聯立 

消去得 

∵點A（1，1）在橢圓上

   ………………10分

∵直線AC、AD傾斜角互補

∴AD的方程為

同理   ………………11分

又，，

所以

即直線CD的斜率為定值 ………………13分