【題目】已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（﹣ 
，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為 
的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．
【答案】
（1）解：由題意可知：c= 
，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．
∵焦點在x軸上，
∴橢圓C的方程為： 
（2）解：設直線l的方程為y= 
x+b，由 
，
可得x2+2bx+2b2﹣2=0，
∵l與橢圓C交于A、B兩點，
∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．
∴弦長|AB|= 
= 
，
∵0≤b2≤2，
∴|AB|= ≤ 
，
∴當b=0，即l的直線方程為y= x時，弦長|AB|的最大值為
【解析】（1）由已知根據橢圓的簡單性質可求出a、b的值進而得到橢圓的方程。（2）聯立直線和橢圓的方程得到關于x的一元二次方程，設出A、B兩點的坐標根據韋達定理得到x1+x2和x1x2 關系式，代入弦長公式即可求出結果，利用橢圓自身的范圍限制得到b的取值范圍，進而得到弦長|AB|的最大值以及直線的方程。
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：
，焦點在y軸：
)．
新活力總動員暑系列答案
龍人圖書快樂假期暑假作業鄭州大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】脫貧是政府關注民生的重要任務，了解居民的實際收入狀況就顯得尤為重要.現從某地區隨機抽取
個農戶，考察每個農戶的年收入與年積蓄的情況進行分析，設第
個農戶的年收入
（萬元），年積蓄
（萬元），經過數據處理得
（Ⅰ）已知家庭的年結余
對年收入
具有線性相關關系，求線性回歸方程；
（Ⅱ）若該地區的農戶年積蓄在
萬以上，即稱該農戶已達小康生活，請預測農戶達到小康生活的最低年收入應為多少萬元？
附：在
中， 
其中
為樣本平均值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知方程
.
（Ⅰ）若此方程表示圓，求
的取值范圍；
（Ⅱ)若（Ⅰ）中的圓與直線
相交于
， 
兩點，且
（
為坐標原點），求
；
（Ⅲ）在（Ⅱ)的條件下，求以
為直徑的圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
.
（1）當
時，求函數
的值域；
（2）如果對任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）是否存在實數
，使得函數
的最大值為0，若存在，求出
的值，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
，如果滿足：對任意
，存在常數
，都有
成立，則稱
是
上的有界函數，其中
稱函數
的一個上界.已知函數
， 
.
（1）若函數
為奇函數，求實數
的值；
（2）在第（1）的條件下，求函數
在區間
上的所有上界構成的集合；
（3）若函數
在
上是以3為上界的有界函數，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市郊區有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計劃從年初起每周初均購進汽油
噸，以滿足城區內和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區內汽車用油前
個周需求量
噸與
的函數關系式為
， 
為常數，且前4個周城區內汽車的汽油需求量為100噸.
（1）試寫出第
個周結束時，汽油存儲量
（噸）與
的函數關系式；
（2）要使16個周內每周按計劃購進汽油之后，加油站總能滿足城區內和城外的需求，且每周結束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓 
的左、右焦點分別為 
，橢圓 
過點 
，直線 
交 
軸于 
，且 
， 
為坐標原點．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設 
是橢圓 的上頂點，過點 分別作直線 
交橢圓 于 
兩點，設這兩條直線的斜率分別為 
，且 
，證明：直線 
過定點．
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