【題目】已知
，
（1）求
在
處的切線方程以及的單調性；
（2）對
，有
恒成立，求
的最大整數解；
（3）令
，若
有兩個零點分別為
，
且
為的唯一的極值點，求證：
.
【答案】（1）切線方程為
；單調遞減區間為
，單調遞增區間為
（2）
的最大整數解為
（3）證明見解析
【解析】
（1）求出函數的導數，求出
，
即可得到切線方程，解
得到單調遞增區間，解
得到單調遞減區間，需注意在定義域范圍內；
（2）
等價于
，求導分析
的單調性，即可求出的最大整數解；
（3）由
，求出導函數分析其極值點與單調性，構造函數即可證明；
解：（1）
所以定義域為
；
；
所以切線方程為；
，
令解得
令解得
所以
的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（2）等價于；
，
記
，
，所以
為
上的遞增函數，
且
，
，所以
，使得
即
，
所以
在
上遞減，在
上遞增，
且
；
所以的最大整數解為.
（3），
得
，
當
，
，
，
；
所以
在
上單調遞減，
上單調遞增，
而要使
有兩個零點，要滿足
，
即
；
因為
，
，令
，
由
，
，
即：
，
而要證
，
只需證
，
即證：
即：
由
，
只需證：
，
令
，則
令
，則
故
在上遞增，
；
故
在上遞增，
；
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是數列
的前n項和，對任意
都有
，（其中k、b、p都是常數）.
（1）當
、
、
時，求；
（2）當
、
、
時，若
、
，求數列的通項公式；
（3）若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”。當、、時，
.試問：是否存在這樣的“封閉數列”.使得對任意.都有
，且
.若存在，求數列的首項
的所有取值的集合；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區．為了解市民每年旅游消費支出情況
單位：百元
，相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查，并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表：
組別 |
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得樣本的中位數精確到百元；
根據樣本數據，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態分布
，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；
若年旅游消費支出在
百元以上的游客一年內會繼續來該景點游玩現從游客中隨機抽取3人，一年內繼續來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．
參考數據：
，
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的右焦點為
，離心率為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
（1）求橢圓
的方程;
（2）若
上存在兩點
，橢圓上存在兩個
點滿足：
三點共線，
三點共線，且
，求四邊形
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義域是一切實數的函數
，其圖像是連續不斷的，且存在常數
(
)使得
對任意實數
都成立，則稱
是一個“—伴隨函數”．有下列關于“—伴隨函數”的結論：
①
是常數函數中唯一一個“—伴隨函數”；
②“
—伴隨函數”至少有一個零點；
③
是一個“—伴隨函數”；
其中正確結論的個數是 （ ）
A.1個；B.2個；C.3個；D.0個；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，過點
且斜率為
的直線和以橢圓的右頂點為圓心，短半軸為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的左、右頂點分為A，B，過右焦點
的直線l交橢圓于P，Q兩點，求四邊形APBQ面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
，直線
經過點
與
相交于
、
兩點.
(1)若
且
，求證： 
必為
的焦點；
(2)設
，若點
在
上，且
的最大值為
，求
的值；
(3)設
為坐標原點，若
，直線
的一個法向量為
，求
面積的最大值.
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