Question

【題目】已知函數.

（1）若，求在處的切線方程；

（2）對任意的，恒成立，求的取值范圍；

（3）設，在（2）的條件下,當取最小值且時，試比較與在上的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ; (3) ,證明見解析.

【解析】

(1)根據導數的幾何意義求解即可.

(2)求導后分,和三種情況進行分類討論,利用導數分析函數的單調性與最值從而求得的取值范圍.

(3)由(2)有取最小值1.再根據題意構造出證明的結構,求導分析單調性證明最值的大小即可.

(1) ∵函數,

∴.故.又.

故在處的切線方程為,即

(2)∵函數,

∴,

①當時,得,則在(1,+∞)上單調遞減,

又,故不成立。

②當時,由,得,

由,得,

(i)當時,得,

∴在上單調遞減,在上單調遞增,

要使得恒成立,則,

令,則,

∴在上單調遞增,

又,∴恒成立,即無解。

(ii)當時,,在上單調遞增,

由,得恒成立，

綜上：.故實數的取值范圍是.

(3),證明如下：

由(2)可知,此時.

,知：即證,

令,則,

由,解得,由,解得,

∴在上單調遞減,在上單調遞增,

∴,

令,則,

由,解得,由,解得,

∴在上單調遞增,在上單調遞減,

故,又,

∴.

∴.