Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求的單調區間；

（2）當函數在區間上有且只有個極值點時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在單調遞減，單調遞增；（2）.

【解析】

（1）代入，對求導，根據導數正負判斷函數的單調區間；

（2）函數在區間有且只有兩個極值點，即函數的導數在區間有且只有兩個零點，然后對分類討論，取滿足條件的的取值，即可求出的取值范圍.

（1）易知函數的定義域為，

當時，，又，

設，

則恒成立，

在單調遞增，

又，則當時，

當時，

即函數在單調遞減，單調遞增；

（2）由，

可得，且，

設，

即，

又，

①當時，

，即在單調遞增，

則當時，當時，

即在區間上有且只有個極值點，

故不滿足題意，

當時，

，此時，

②當時，

有，此時在恒成立，

同①可得在區間上有且只有個極值點，

故也不滿足題意，

③當時，

有，設的兩根為，，

則有，，

故，

則時，時，

即函數在單調遞減，單調遞增，

又，故，，

當，即時，在無零點，

又在單調遞增，

即在區間上有且只有個極值點，

故不滿足題意，

當，即時，

則使得，

且當時，

當時，

當時，

即此時在區間上有且只有個極值點，

極值點為和，

故滿足題意，

綜上可得，符合條件的的取值范圍為.