Question

已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.

（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ，或    (Ⅱ)

解析:

（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

將代入， 消去整理得    ………….. 2分

設  則    ………….. 4分

由線段中點的橫坐標是，   得，解得，適合.  ….. 5分

所以直線的方程為 ，或 .  ….. 6分

（Ⅱ）解：假設在軸上存在點，使為常數.

① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知    

所以

                                    ………….. 8分

將代入，整理得

                           

注意到是與無關的常數， 從而有， 此時  .. 10分

② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，

當時， 亦有                                         

綜上，在軸上存在定點，使為常數. ……………….. 12分