Question

已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點．

（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

將代入， 消去整理得   …. 2分

設  則  … 4分

由線段中點的橫坐標是，   得，

解得，適合.                                              …………5分

所以直線的方程為 ，或 .             ………. 6分

（Ⅱ）假設在軸上存在點，使為常數.

① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知 

所以

                           ………… 9分

將代入，整理得

                          

注意到是與無關的常數， 從而有， 此時 

② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，

當時， 亦有                               

綜上，在軸上存在定點，使為常數         ………………13分