Question

已知a , b都是正數，△ABC在平面直角坐標系xOy內, 以兩點A (a ,0 )和B (0,b )為頂點的正三角形，且它的第三個頂點C在第一象限內.

（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}內， 試求變量 a , b 的約束條件，并在直角坐標系aOb內畫出這個約束條件表示的平面區域；

（2）當(a, b )在（1）所得的約束條件內移動時，求△ABC面積S的最大值，并求此時（a , b）的值.（14分）

Answer 1

（14分）

[解析]：解: （1）由題意知：頂點C是分別以A、B為圓心，以|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點，由圓A: ( x – a)² + y² = a² + b² , 圓B: x² + ( y – b )² = a² + b² .

解得 x = , y = ，∴C（， ）

△ABC含于正方形D內，即三頂點A，B，C含于區域D內時，

∴   

這就是 ( a , b )的約束條件. 其圖形為右圖的六邊形， 

∵a > 0 , b > 0 , ∴圖中坐標軸上的點除外．

（2）∵△ABC是邊長為的正三角形,∴ S = ( a² + b² )

在（1）的條件下, 當S取最大值等價于六邊形圖形中的點( a, b )到原點的距離最大,

由六邊形中P、Q、R相應的OP、OQ、OR的計算.

OP² = OR² = 1² + ( 2 – )² = 8 – 4，OQ² = 2( – 1)² = 8 – 4.

∴ OP = OR =OQ  ∴當 ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )時, S_max =2– 3.