Question

（1）若a≥1，用分析法證明

a+1

+

a-1

＜2

a

；
（2）已知a，b都是正實數，且ab=2，求證：（2a+1）（b+1）≥9．

Answer 1

分析：（1） 只需證明a+1+2

a2-1

+a-1＜4a，即證

a2-1

＜a，只需證明a²-1＜a²．
（2） 利用基本不等式證明2a+b≥2

2ab

=4，化簡不等式的左邊，把此結論代入，可證得不等式成立．

解答：證明：（1）因a≥1，所以，要證

a+1

+

a-1

＜2

a

，
只需證明a+1+2

a2-1

+a-1＜4a，即證

a2-1

＜a，
只需證明a²-1＜a²，即-1＜0，
此不等式顯然成立，于是

a+1

+

a-1

＜2

a

．
（2）因a，b都是正實數，所以，2a+b≥2

2ab

=4，當且僅當b=2a，即a=1，b=2時等號成立，
∴（2a+1）（b+1）=2ab+（2a+b）+1≥4+4+1=9．

點評：本題考查用分析法證明不等式，即證明使不等式成立的充分條件已具備．