Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，.是棱上的一點，.

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為.多面體的體積為，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知求出，在中，結合余弦定理求出，從而可知，由底面可推出，可證明面，進而可證明面面垂直.

（2）以C為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標系，設.由（1）知，取平面的法向量為，通過求出，，則可知平面的法向量為，進而由二面角的余弦值為可整理得；分別求出四棱錐的體積，的體積，則結合多面體的體積為，進而可求出的值.

解：（1）四邊形中，，，所以.

在中，，，所以，.

則在中，，，，

所以，解得：.

由，知，即.

因為底面，平面，所以.

因為，是平面上的兩條相交直線，所以面.

因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知：，，兩兩垂直，以C為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，.

設，則，.

由（1）知，底面，故取平面的法向量為.

又，，

設平面的法向量為，則，即，

取，，得.

所以，由條件，知：，

整理得：①.四棱錐的體積，

又到面距離，所以的體積，

則多面體的體積為②，

由①，②得：，解得：或.

因為E是棱上的一點，所以.從而，.