Question

【題目】已知函數(b為常數)

（1）若b=1,求函數H(x)=f(x)﹣g(x)圖象在x=1處的切線方程;

（2）若b≥2,對任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求實數b的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）將b=1代入，求導后得到斜率，求出切點，利用點斜式得到切線方程;

（2）分析可知，函數f(x)=lnx在區間[1，2]上是增函數，函數g(x)在區間[1，2]上是減函數，進而問題等價于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，進一步等價于在區間[1，2]上恒成立，由此即可得解.

（1）若b=1，函數，

∴，故又切點為，

故所求切線方程為2x﹣2y﹣1=0;

（2）不妨設x1>x2，

∵函數f(x)=lnx在區間[1，2]上是增函數，

∴f(x1)>f(x2)，

∵函數g(x)圖象的對稱軸為x=b，且b>2，

∴當b≥2時，函數g(x)在區間[1，2]上是減函數，

∴g(x1)<g(x2)，

∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等價于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，

等價于函數在區間[1，2]上是增函數，

等價于在區間[1，2]上恒成立，

等價于在區間[1，2]上恒成立，

∴b≤2，

又b≥2，故b=2.