Question

【題目】已知長為2的線段A B兩端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點M的軌跡為曲線C． （Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點P（x，y）是曲線C上的動點，求3x﹣4y的取值范圍；
（Ⅲ）已知定點Q（0， ），探究是否存在定點T（0，t）（t ）和常數λ滿足：對曲線C上任意一點S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）法一：設A（m，0），B（0，n），M（x，y），則|AB|2=m2+n2① ∵點M為線段AB的中點∴m=2x，n=2y；代入①式得4x2+4y2=4，
即點M的軌跡曲線C的方程為x2+y2=1．
法二：設O為坐標原點，則 ，故點M的軌跡曲線C是以原點O為圓心，
半徑等于1的圓，其方程為x2+y2=1．
（Ⅱ）法一；∵x2+y2=1，∴可令 ，∴3x﹣4y=3cosθ﹣4sinθ=5sin（θ+φ）∈[﹣5，5]．
法二：設t=3x﹣4y，則由題直線3x﹣4y﹣t=0與圓C：x2+y2=1有公共點，
∴ ，解得t∈[﹣5，5]
（Ⅲ）假設存在滿足題意的t和λ，則設S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得： ，展開整理得： ，又x2+y2=1，故有 ，
由題意此式對滿足x2+y2=1的任意的y都成立，
∴ 且 ，解得： （∵ ）
所以存在 滿足題意要求
【解析】（Ⅰ）法一：設A（m，0），B（0，n），M（x，y），利用|AB|2=m2+n2 ， 以及點M為線段AB的中點求解點M的軌跡曲線C的方程． 法二：設O為坐標原點，則 ，判斷點M的軌跡曲線C是以原點O為圓心，半徑等于1的圓，寫出方程即可．（Ⅱ）法一；通過x2+y2=1，令 ，轉化三角函數求解最值即可．法二：設t=3x﹣4y，利用直線3x﹣4y﹣t=0與圓C：x2+y2=1有公共點，列出不等式求解即可．（Ⅲ）假設存在滿足題意的t和λ，則設S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得： ，化簡代入x2+y2=1，推出 ，推出 ，得到結果．