Question

如圖，橢圓C：的頂點為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點為F₁，F₂，，|A₁B₁|=，S_?A1B1A2B2=2S_?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，且，是否存在上述直線l使=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知a²+b²=7，①
由S_□A1B1A2B2=2S_□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b²=a²-c² ③
由 ①②③解得a²=4，b²=3，
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x軸時，p點即是右焦點（1，0），此時不滿足，直線l的方程不存在．
若l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且得，即m²=k²+1 ④
∵，，得知OA⊥OB所以x₁x_2⁺y₁y₂=0，
由得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
，，
又y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，代入x₁x_2⁺y₁y₂=0中得7m²-12k²-12=0．⑤
由④⑤可知無解．所以此時l不存在．
故不存在直線方程使成立．
分析：（Ⅰ）根據橢圓的幾何性質知a²+b²=7，由已知條件得知a=2c，從而解得a，b即求出其方程．
（Ⅱ）考慮兩種情況，一是l與x軸垂直，結合條件判斷得知此時符合題意；二是l與x軸不垂直，設其方程為y=kx+m，由，得知m²=k²+1，再由和得知OA⊥OB，即找到x₁x_2⁺y₁y₂=0，然后直線和橢圓聯解得到m與k的第二個關系式，聯解知無解．所以第二種不符合題意．故只有第一種符合題意．因此存在直線l滿足條件．
點評：此題考查了橢圓的幾何性質，及直線和橢圓的位置關系應用．