Question

（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且點P（0，1）在C₁上．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓C₁的左焦點為F₁（-1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得b=1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．因為直線l與橢圓C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0．由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）因為橢圓C₁的左焦點為F₁（-1，0），所以c=1，
點P（0，1）代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

1

b2

=1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2
所以橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）直線l的斜率顯然存在，
設直線l的方程為y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因為直線l與橢圓C₁相切，
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由

y2=4x y=kx+m

，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0
因為直線l與拋物線C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0
整理得km=1②
綜合①②，解得

k= 2 2 m= 2

或

k=- 2 2 m=- 2

所以直線l的方程為y=

2

2

x+

2

或y=-

2

2

x-

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．