Question

（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2 3

，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由e=

2 3

得a²=3b²，橢圓方程為x²+3y²=3b²，求出橢圓上的點到點Q的距離，利用配方法，確定函數的最大值，即可求得橢圓方程；
（2）假設M（m，n）存在，則有m²+n²＞1，求出|AB|，點O到直線l距離，表示出面積，利用基本不等式，即可確定三角形面積的最大值，從而可求點M的坐標．

解答：解：（1）由e=

2 3

得a²=3b²，橢圓方程為x²+3y²=3b²
橢圓上的點到點Q的距離d=

x2+(y-2)2

=

3b2-3y2+(y-2)2

=

-2y2-4y+4+3b2

(-b≤y≤b)
①當-b≤-1時，即b≥1，dmax=

6+3b2

=3得b=1
②當-b＞-1時，即b＜1，dmax=

b2+4b+4

=3得b=1（舍）
∴b=1
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1
（2）假設M（m，n）存在，則有m²+n²＞1
∵|AB|=2

1- 1 m2+n2

，點O到直線l距離d=

1

m2+n2

∴S△AOB=

1

2

×2

1- 1 m2+n2

×

1

m2+n2

=

1 m2+n2 (1- 1 m2+n2 )

∵m²+n²＞1
∴0＜

1

m2+n2

＜1，∴1-

1

m2+n2

＞0
當且僅當

1

m2+n2

= 1-

1

m2+n2

，即m²+n²=2＞1時，S_△AOB取最大值

1

2

，
又∵

m2

3

+n2=1
解得：m2=

3

2

，n2=

1

2

所以點M的坐標為(

6

2

，

2

2

)或(-

6

2

，

2

2

)或(

6

2

，-

2

2

)或(-

6

2

，-

2

2

)，△AOB的面積為

1

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的求解，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．