Question

6．已知函數$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的圖象過點$（{0，\frac{1}{2}}）$，若$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對x∈R恒成立，則ω的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 10
• C． 4
• D． 16

Answer 1

分析 根據函數f（x）的圖象過點$（{0，\frac{1}{2}}）$求出φ的值，再由$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對x∈R恒成立，得出ω•$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，由此求出ω的最小值．

解答 解：函數$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的圖象過點$（{0，\frac{1}{2}}）$，
∴f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）；
又$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對x∈R恒成立，
∴ω•$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=24k+4，k∈Z，
∴ω的最小值為4．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦函數的最大值以及正弦函數的圖象和性質的應用問題，是基礎題．