Question

已知函數f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
（1）判定并證明函數的奇偶性；
（2）試證明f（x）＞0在定義域內恒成立；
（3）當x∈[1，3]時，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）先求函數定義域，然后判斷f（x）與f（-x）的關系，根據奇偶性的定義可作出判斷；
（2）先利用指數函數的性質證明x＞0時f（x）＞0，然后利用偶函數的性質證明x＜0時f（x）＞0；
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0對x∈[1，3]恒成立，分離參數后可得（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，則問題化為g（x）_max，利用基本函數的單調性可求得g（x）_max；

解答： 解：（1）f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)為偶函數，證明如下：
f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)的定義域為：{x|x≠0}關于原點對稱，
對于任意x∈{x|x≠0}有：f(-x)=-x (

1

2-x-1

+

1

2

)=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)
=x (1+

1

2x-1

-

1

2

)=x (

1

2x-1

+

1

2

)=f(x)成立，
∴f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)為偶函數；
（2）∵f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)定義域為：{x|x≠0}，
當x＞0時，2^x＞2⁰=1，∴2^x-1＞0，∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，x＞0，
∴f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)＞0恒成立；
當x＜0時，-x＞0，由（1）可知：f（x）=f（-x）＞0，
綜上所述，f（x）＞0在定義域內恒成立．
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0對x∈[1，3]恒成立，
∴2x（

1

2x-1

+

1

2

）-（

1

2

）^m•x＜0，∴（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），
令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，
當x∈[1，3]時，2^x-1遞增，

1

2x-1

遞減，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)在[1，3]上為減函數，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)≤g(1)=3對x∈[1，3]恒成立，
∴(

1

2

)m＞3，解得m的取值范圍是m＜log

1

2

3．

點評：該題考查函數的奇偶性、單調性的判斷，考查恒成立問題的求解，考查轉化思想，定義是研究函數基本性質的常用方法，要熟練掌握．