Question

已知函數f（x）=e^x-a（x+2）-b（e為自然對數的底，a，b∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）的最小值為0，求b的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先對函數求導，令導函數大于0得到遞增區間，令導函數小于0得到遞減區間；
（2）函數f（x）的最小值為0求出b的值，令h（x）=-x-lnx，求出 h′（x）．判斷h（x）的單調性，求極值點，繼而得到答案．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x-a，
若a≤0，則f'（x）≥0恒成立，則f（x）在區間（-∞，+∞）上是單調遞增；
若a＞0，由f'（x）＞0解得x＞lna，
f（x）在區間（lna，+∞）上單調遞增，在區間（-∞，lna）上單調遞減．
（2）若a≤0，則f'（x）≥0恒成立，則f（x）在區間（-∞，+∞）上單調遞增，函數f（x）不存在最小值；
若a＞0，由（1）f（x）在區間（lna，+∞）上單調遞增，在區間（-∞，lna）上單調遞減，
∴函數f（x）的最小值是f（lna）=a-a（lna+2）-b，因此b=-a-alna，
記h(x)=-x-xlnx，h′(x)=-1-lnx-x•

1

x

=-lnx-2，
由h'（x）=0⇒x=e^-2，
且當0＜x＜e^-2時，h'（x）＞0，
且當x＞e^-2時，h'（x）＜0，
所以h（x）的最大值是h（e^-2）=e^-2，即b的最大值是e^-2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查利用導數研究函數的單調性，極值及最值，要注意求極值時，導數等于0根的左右單調性的判斷．考查了分析解決問題的能力．