Question

【題目】如圖1，在中，分別是邊上的中點，將沿折起到的位置，使如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得，，可證平面，進而有平面，即可證明結論；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面平面，在正中過作，垂足為，則有平面，以為坐標原點建立空間直角坐標系，確定坐標，求出平面法向量坐標，按照空間向量線面角公式，即可求解.

（Ⅰ）在圖1中，分別為邊中點，

所以，又因為所以

在圖2中，且，

則平面，又因為，所以平面

又因為平面，所以平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面,且平面

所以平面平面，又因為平面平面

在正中過作，垂足為，則為中點，

且平面，分別以，梯形中位線，

所在直線為軸，軸，軸建立如圖坐標系，

則．

．

設平面的法向量為，

則，

令，則，

平面的一個法向量為．

設直線與平面所成角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．