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已知在同一平面內(nèi)
OA
、
OB
、
OC
滿足條件：
OA
+
OB
+
OC
=
0
，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|≠0．
（I）求證：△ABC為正三角形；
（II）類比于（I），在同一平面內(nèi)，若向量
OA
，
OB
，
OC
，
OD
滿足條件：
OA
+
OB
+
OC
=
0
，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|≠0，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．
分析：（I）利用向量的運(yùn)算法則將等式中的向量
OA
，
OB
，
OC
用三角形的各邊對(duì)應(yīng)的向量表示，得到邊的關(guān)系，得出三角形的形狀．
（II）先設(shè)|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=r，根據(jù)向量的運(yùn)算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC從而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點(diǎn)共線及、O、D三點(diǎn)共線，又|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|得出四邊形ABCD為矩形．
解答：解：精英家教網(wǎng)（I）證明：設(shè)|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=r
則
OA
+
OB
+
OC
=
0
?
OA
+
OB
=-
OC
?(
OA
+
OB
)2=
OC
2?(
OA
+
OB
)2=
OC
2?cos∠AOB=-
1
2
?∠AOB=
2π
3
（3分）
AB
=
OB
-
OA
?
AB
2=
OB
2+
OA
2-2
OB
•
OA
=3r2?|
AB
|=
3
r同理|
AB
|=|
BC
|=
3
r=|
AC
|
∴△ABC為正三角形（6分）
（II）四邊形ABCD為矩形（8分）設(shè)|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=r，則
OA
+
OB
=-
OC
-
OD
?(
OA
+
OB
)2=(-
OC
-
OD
) 2?2r2+2r2cos∠AOB=2r2+2r2cos∠COD?∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點(diǎn)共線
同理B、O、D三點(diǎn)共線又|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|
∴四邊形ABCD為矩形．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則及利用向量判斷出三角形的形狀．解答的基礎(chǔ)是對(duì)向量運(yùn)算和變形的熟悉掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A，B，C是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，O是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，P是△ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若
OP
-
OA
=λ(
AB
+
1
2
BC
)，λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的（　　）
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在同一平面內(nèi)，已知
OA
=(cosα，sinα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且
OA
•
OB
=0．若
OA
′=(cosα，2sinα)，
OB
′=(cosβ，2sinβ)，則△A'OB'的面積等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O，A，B是同一平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，則下列命題正確的是
①②③④⑤
①②③④⑤
．（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①若λ=
1
2
，μ=
1
2
，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點(diǎn)共線；
③若λ=
1
|
OA
|
，μ=
1
|
OB
|
，則點(diǎn)M在∠AOB的平分線上；
④若λ=
1
3
，μ=
1
3
，則點(diǎn)M是△OAB的重心；
⑤若點(diǎn)M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或
λ＞
1
2
μ＞
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知O，A，B是同一平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，則下列命題正確的是______．（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①若λ=
1
2
，μ=
1
2
，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點(diǎn)共線；
③若λ=
1
|
OA
|
，μ=
1
|
OB
|
，則點(diǎn)M在∠AOB的平分線上；
④若λ=
1
3
，μ=
1
3
，則點(diǎn)M是△OAB的重心；
⑤若點(diǎn)M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或
λ＞
1
2
μ＞
1
2
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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