Question

已知O，A，B是同一平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

，則下列命題正確的是

①②③④⑤

．（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①若λ=

1

2

，μ=

1

2

，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點(diǎn)共線；
③若λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

，則點(diǎn)M在∠AOB的平分線上；
④若λ=

1

3

，μ=

1

3

，則點(diǎn)M是△OAB的重心；
⑤若點(diǎn)M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

．

Answer 1

分析：由已知可得

AB

=2

AM

，即點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，可判斷①的真假；由已知可得

AM

=2

AB

，故M，A，B三點(diǎn)共線，可判斷②的真假；根據(jù)

OA

| OA |

表示與

OA

同向的單位向量，可得M點(diǎn)是以

OA

同向的單位向量和又

OB

同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對(duì)角線頂點(diǎn)上，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，可判斷③的真假；由已知可得

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M為三角形的重心，進(jìn)而判斷④的真假；根據(jù)已知分析點(diǎn)M在△OAB外的各種情況，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時(shí)，

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，此時(shí)

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-

1

2

OA

+

1

2

OB

，故

AB

=2

AM

，即點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，故①正確；
當(dāng)λ=-1，μ=2時(shí)，

OM

=-

OA

+2

OB

，此時(shí)

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-2

OA

+2

OB

=2

AB

，故M，A，B三點(diǎn)共線，故②正確；
當(dāng)λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

時(shí)，

OM

=

OA

| OA |

+

OB

| OB |

，此時(shí)M點(diǎn)是以

OA

同向的單位向量和又

OB

同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對(duì)角線頂點(diǎn)上，根據(jù)菱形對(duì)角線平分對(duì)角，可得點(diǎn)M在∠AOB的平分線上，故③正確；
當(dāng)λ=

1

3

，μ=

1

3

時(shí)，

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，此時(shí)

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M為三角形的重心，故④正確；
反向延長OA，OB，分別計(jì)為OC，OD，當(dāng)M點(diǎn)在區(qū)域AOC上時(shí)，λ＜0；當(dāng)M點(diǎn)在區(qū)域BOD上時(shí)，μ＜0；當(dāng)M點(diǎn)在區(qū)域COD上時(shí)，λ＜0且μ＜0；當(dāng)M點(diǎn)在區(qū)域COD上時(shí)，λ＞0且μ＞0，若此時(shí)M點(diǎn)△OAB外，則

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

，故⑤正確
故答案為：①②③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題又命題的真假判斷為載體考查了向量的性質(zhì)，是向量問題的綜合應(yīng)用，難度稍大，屬中檔題．