Question

若關于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和（

1

b

，

1

a

），則稱這兩個不等式為對偶不等式．如果不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0與不等式2x²-4x•sin2θ+1＜0為對偶不等式，且θ∈（

π

2

，π），則θ=

 

．

Answer 1

分析：由題意若不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0的解集為（a，b） 則不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

a

，

1

b

）；由一元二次方程與不等式的關系可知，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b =2sin2θ

，整理，結合三角函數的輔助角公式可求θ

解答：解：設不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0的解集為（a，b），由題意可得不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

a

，

1

b

）
由一元二次方程與不等式的關系可知，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b =2sin2θ

整理可得，

3

cos2θ=sin2θ
∴sin(2θ-

π

3

)=0，且θ∈（

π

2

，π），
∴θ=

2π

3

故答案為：

2π

3

點評：本題以新定義為載體，考查了一元二次方程與一元二次不等式的相互轉化關系，方程的根與系數的關系，考查了輔助角公式的應用．是一道綜合性比較好的試題．