Question

已知a，b實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=2x²+（1+a）bx-b．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)b為已知的常數(shù)，且f（1）＞0，求滿足條件的a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集為（1，3），得1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得a，b的值．
（2）由f（1）＞0，可得2+ab＞0，對b討論即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）由題可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集為（1，3），
則1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的兩根，由韋達(dá)定理可知

- b(a+1) 2 =4 - b 2 =3

化為

ab+b+8=0 b=-6

解得

a= 1 3 b=-6

（2）∵f（1）=2+（1+a）b-b=2+ab＞0，∴ab＞-2．
當(dāng)b=0時，a∈R；當(dāng)b＞0時，a＞-

2

b

；當(dāng)b＜0時，a＜-

2

b

．

點(diǎn)評：掌握一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系是正確求得一元二次不等式的解集的關(guān)鍵．