Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +x．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知函數(shù)f（x）= +x則函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）

函數(shù)為奇函數(shù)

理由：對任意的x∈{x|x≠0，都有 ，故函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)

（2）證明：對區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個數(shù)x1、x2，且x1＜x2，則 ．

由于x1、x2∈（1，+∞）且x1＜x2，則x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0．

從而f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），

因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)

（3）解：有（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為增函數(shù)，故fmin（x）=f（1）=2，
【解析】（1）（2）分別利用函數(shù)的奇偶性定義和單調(diào)性定義進行判斷證明；（3）利用（2）的結(jié)論，得到函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)性，進一步求得最值．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担慌己瘮�(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能正確解答此題．