Question

（2013•延慶縣一模）A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）設φ（x）=

3

1+x

，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的．

Answer 1

分析：（I）根據φ（2x）=

3	1+2x

單調增的性質，得x∈[1，2]時1＜

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

＜2，從而得到φ（2x）∈（1，2）；再根據分子有理化，整理得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|x₁-x₂|•

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

，從而令

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

=L，得0＜L＜1滿足|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．由以上兩條可得φ（x）∈A成立；
（II）反證法，假設滿足條件的x₀不是唯一的，則存在兩個x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），根據（I）的結論進行推理得到|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1與定義0＜L＜1矛盾，從而說明假設不成立，可得滿足x₀∈（1，2）且x₀=φ（2x₀）的x₀是唯一的．

解答：解：（Ⅰ）對任意x∈[1，2]，φ（2x）=

3	1+2x

，
∵

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

，且1＜

3	3

＜

3	5

＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）滿足（1）的條件；
對任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|x₁-x₂|•

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

，
∵3＜

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x2)

+

3	(1+2x2)2

，
所以0＜

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

＜

2

3

，
令

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

=L，則0＜L＜1，
可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，滿足（2）的條件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反證法：
設存在兩個x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），則
由（I）的結論，得|φ（2x₀）-φ（2x0/）|≤L|x₁-x₂|，
得|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，與定義0＜L＜1矛盾，故假設不成立，
可得不存在兩個x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），
因此如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的．…（13分）

點評：本題給出滿足特殊對應法則，要求我們判斷φ（x）滿足此對應法則，且對滿足條件的函數中若x₀=φ（2x₀）的x₀唯一性加以討論．著重考查了不等式的性質、反證法的證明思想和函數恒成立的討論等知識，屬于中檔題．