Question

【題目】若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則該函數(shù)為“依附函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)在定義域上“依附函數(shù)”，求的取值范圍；

(3)已知函數(shù)在定義域上為“依附函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析；(2)；(3).

【解析】

（1）舉出反例：取，但是不存在，即可判定；

（2）根據(jù)依附函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合在遞增，故，即，，即可求得取值范圍；

（3）根據(jù)依附函數(shù)的關(guān)系結(jié)合單調(diào)性分析可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得對(duì)任意的，有不等式都成立，即關(guān)于t的不等式恒成立，即可求解.

(1)對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則，無(wú)解.

故不是“依附函數(shù)”；

(2)因?yàn)?/span>在遞增，故，

即，，

由，故，得，

從而在上單調(diào)遞增，故，

(3)①若，故在上最小值為0，此時(shí)不存在，舍去；

②若故在上單調(diào)遞減，從而，

解得（舍）或.從而，存在，使得對(duì)任意的，

有不等式都成立，

即恒成立，

由，得，

由，可得，

又在單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，，

從而，解得，

綜上，故實(shí)數(shù)的最大值為.