Question

已知兩點M（2，3），N（2，-3）在橢圓上，斜率為的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側），且四邊形MANB面積的最大值為．求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：先設直線l的方程為（m∈R）并代入代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得a，b值，即得橢圓C的方程，從而解決問題．
解答：解：設直線l的方程為（m∈R）并代入b²x²+a²y²=a²b²
得：x²+ma²x+a²m²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
則，
又
=
顯然當m=0時，S_MANB==（1）
由題意|MN|=6（2）4b²+9a²=a²b²（3）
聯立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12
即橢圓C的方程為：．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與橢圓的位置關系．本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，利用方程的思想解決具體問題，體現了方程的數學思想．