Question

已知兩點M（2，3），N（2，-3）在橢圓上，斜率為的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側），且四邊形MANB面積的最大值為．w
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點N到直線AM，BM距離的和為，試判斷△MAB的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（I）設直線l的方程為（m∈R），代入b²x²+a²y²=a²b²得：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R），則，，再由=能求出橢圓C的方程．
（II）設直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R），得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0，得，同理：，所以
，由此能夠證明△MAB直角三角形．
解答：解：（I）設直線l的方程為（m∈R），
代入b²x²+a²y²=a²b²
得：，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
則，，------（3分）
又
=，
顯然當m=0時，S_MANB==（1）
由題意|MN|=6 （2）
4b²+9a²=a²b²（3）------（5分）
聯立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12，
即橢圓C的方程為：．（4）------（7分）
（II）設直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
將（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0------（9分）
則，
∴
∴
同理：
------（12分）
化簡得：k₁²=k₂²，
∵k₁≠k₂，
∴k₁=-k₂
即直線MA與MB關于直線MN對稱，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直線MA與MB距離均為，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=，
∴．
故△MAB直角三角形．------（15分）
點評：本題主要橢圓方程的求法，判斷三角形的形狀．解題時要熟練掌握橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力．綜合性強，是高考的重點，易錯點是橢圓的知識體系不牢固．解題時要認真審題，注意化歸與轉化思想的靈活運用．