Question

（2010•臺州二模）已知兩點M（2，3），N（2，-3）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側），且四邊形MANB面積的最大值為12

3

．w
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點N到直線AM，BM距離的和為6

2

，試判斷△MAB的形狀．

Answer 1

分析：（I）設直線l的方程為y=

1

2

x+m（m∈R），代入b²x²+a²y²=a²b²得：(b2+

a2

4

)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R），則x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1•x2=

ma2-a2b2

b2+ a2 4

，再由SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

能求出橢圓C的方程．
（II）設直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R），得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0，得A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)，同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)，所以
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

，由此能夠證明△MAB直角三角形．

解答：解：（I）設直線l的方程為y=

1

2

x+m（m∈R），
代入b²x²+a²y²=a²b²
得：(b2+

a2

4

)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
則x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1•x2=

ma2-a2b2

b2+ a2 4

，------（3分）
又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

，
顯然當m=0時，S_MANB=3•|MN|•

4a2b4+a4b2

b2+ a2 4

=12

3

（1）
由題意|MN|=6 （2）
4b²+9a²=a²b²（3）------（5分）
聯立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12，
即橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．（4）------（7分）
（II）設直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
將（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0------（9分）
則2x1=

64k12-192k1-48

16k12+12

，
∴x1=

8k12-24k1-6

4k12+3

∴A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)
同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

------（12分）
化簡得：k₁²=k₂²，
∵k₁≠k₂，
∴k₁=-k₂
即直線MA與MB關于直線MN對稱，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直線MA與MB距離均為3

2

，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=

π

4

，
∴∠AMB=

π

2

．
故△MAB直角三角形．------（15分）

點評：本題主要橢圓方程的求法，判斷三角形的形狀．解題時要熟練掌握橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力．綜合性強，是高考的重點，易錯點是橢圓的知識體系不牢固．解題時要認真審題，注意化歸與轉化思想的靈活運用．