Question

（2011•廣東模擬）已知函數f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e為自然對數的底數），
（Ⅰ）設曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若對于任意實數x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=-1時，是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再根據兩直線垂直建立等式關系，解之即可．
（II）當x=0時，顯然f（x）=e^x＞0恒成立；當x大于0時，令f（x）大于0，解出a大于一個函數，設這個函數為Q（x），求出Q（x）的導函數，分x大于0小于1和x大于1兩種情況討論導函數的正負，進而得到函數的增減性，根據函數的增減性得到Q（x）的最大值，即可得到a的取值范圍；
（III）把f（x）和g（x）的解析式代入y中確定出y的解析式，設M（x）為y的解析式，求出M（x）的導函數，h（x）=

1

x

+lnx-1，求出h（x）的導函數，由x的范圍得到導函數為正數，進而得到h（x）在[1，e]上為增函數，得到h（1）為最小值，即可得到M（x）的最小值，而曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，即切線的斜率為0，即導函數的值為0，與導函數的最小值為1矛盾，所以不存在實數x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a，（1分）
因此y=f（x）在（1，f（1））處的切線l的斜率為e+a，（2分）
又直線x+（e-1）y=1的斜率為

1

1-e

，（3分）
∴（e+a）•

1

1-e

=-1，
∴a=-1．（5分）
（Ⅱ）∵當x≥0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
∴先考慮x=0，此時，f（x）=e^x，a可為任意實數；（6分）
又當x＞0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
則a＞-

ex

x

恒成立，（7分）
設h（x）=-

ex

x

，則h'（x）=

(1-x)ex

x2

，
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調遞增，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調遞減，
故當x=1時，h（x）取得極大值，h（x）_max=h（1）=-e，（9分）
∴要使x≥0，f（x）＞0恒成立，a＞-e，
∴實數a的取值范圍為（-e，+∞）．（10分）
（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為y=e^xlnx-e^x+x，
令u（x）=e^xlnx-e^x+x，則u′(x)=

ex

x

+exlnx-ex+1=(

1

x

+lnx-1)ex+1
設v(x)=

1

x

+lnx-1，則v′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當x∈[1，e]，v'（x）≥0，故v（x）在[1，e]上的最小值為v（1）=0，（12分）
所以v（x）≥0，又e^x＞0，∴u′(x)=(

1

x

+lnx-1)ex+1＞0，
而若曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，
則u'（x₀）=0，矛盾．（13分）
所以，不存在實數x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩條直線垂直的判定，掌握導數在最大值、最小值中的運用，是一道中檔題．