Question

（2011•廣東模擬）已知線段AB的兩個端點分別為A（0，1），B（1，0），P（x，y）為線段AB上不與端點重合的一個動點，則(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值為

25

4

．

Answer 1

分析：由題意可得 x+y=1，故  0＜xy≤

1

4

，故化簡可得  (x+

1

x

)(y+

1

y

)=

(xy-1)2+1

xy

，故 當xy取
最大值

1

4

 時，所求的式子取最小值．

解答：解：由題意可得 x+y=1，x＞0，y＞0，∴x+y=1≥2

xy

，∴0＜xy≤

1

4

，
∴(x+

1

x

)(y+

1

y

)=

(xy)2+x2+y2+1

xy

=

(xy)2+(1-2xy) +1

xy

=

(xy-1)2+1

xy

，
∴當xy取最大值

1

4

 時，

(xy-1)2+1

xy

的分子最小且分母最大，故式子取最小值為

25

4

，
故答案為：

25

4

．

點評：本題考查基本不等式的應用，式子的變形，是解題的難點和關鍵．