Question

（2011•廣東模擬）已知函數f（x）=

a-x

+

x

（a∈N^*），對定義域內任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則正整數a的取值個數是

5

．

Answer 1

分析：對定義域內任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值與最小值的差小于1．（也就是值域區間的長度小于1），求其最大最小值即可．

解答：解：∵a-x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定義域為[0，a]
對定義域內任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值與最小值的差小于1．（也就是值域區間的長度小于1），求其最大最小值即可
∵f（x）=

a-x

+

x

≥0
∴[f（x）]²=a+2

x(a-x)

≥a，當x=0或a時，f（x）取最小值

a

又x（a-x）≤[

x+(a-x)

2

]²=

a2

4

，當x=a-x即x=

a

2

時取等號
即[f（x）]²≤a+a=2a，f（x）≤

2a

，當x=

a

2

時取最大值

2a

∴（

2

-1）

a

＜1
∴

a

＜

1

2 -1

=1+

2

∴a＜3+2

2

∵a∈N^*，
∴a=1、2、3、4、5
∴正整數a的取值個數是5個．
故答案為：5

點評：本題考查恒成立問題，考查函數的最值，解題的關鍵是轉化為值域區間的長度小于1．