Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②當x＜0時，f（x）＞0且f（1）=-3 兩個條件，
（1）求證：f（0）=0；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（2x-2）-f（x）≥-12．

Answer 1

分析：（1）賦值法，令x=y=0可證得f（0）=0；
（2）令y=-x代入式子化簡，結合函數奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數；
（3）設x₁＜x₂，由主條件構造f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）由x＜0時f（x）＞0可證得函數的單調性，然后化簡不等式，利用單調性去掉“f”，從而可求出不等式的解集．

解答：（1）證明：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）解：令y=-x
∴f（0）=f（-x）+f（x）=0
∴f（x）=-f（-x）
∴函數f（x）是奇函數
（3）解：設x₁＜x₂則x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴f（x）為R上減函數
∵f（2x-2）-f（x）=f（2x-2）+f（-x）=f（x-2）≥-12，-12=4f（1）=f（4）
∴x-2≤4即x≤6
∴不等式f（2x-2）-f（x）≥-12的解集為{x|x≤6}

點評：本題考查抽象函數的性質，涉及函數奇偶性、單調性的判斷，以及解抽象不等式，解此類題目，注意賦值法的運用，屬于中檔題．